Transformada de Fourier

Published On Sep-22-2017

Transcripción

Al estudiar con mayor detalle el procesamiento de audio digital, es inevitable cruzarse con términos como la Transformada de Fourier y todos sus tipos. Estas operaciones matemáticas son elementales para el DSP. A continuación, estudiaremos los conceptos fundamentales para comprenderlas.

Consideremos el siguiente ejemplo. Una señal con un contenido espectral que llamaremos “a”, pasa a través de un dispositivo con una respuesta de frecuencias “b”. El espectro de frecuencias de la señal de salida es el producto de la multiplicación de “a” y “b”. Cuando el eje Y de los gráficos de respuesta de frecuencias se encuentran en una escala logarítmica, como cuando se utilizan decibeles, la respuesta de frecuencias de la señal de salida es simplemente la suma de “a” y “b”. Recordemos que la suma de logaritmos es lo mismo que la multiplicación.

Figura 5.10. Espectro de frecuencias de una señal al pasar por un dispositivo

En los campos del audio, cuando se habla de frecuencia, nos referimos a la cantidad de sucesos por segundo, expresados en Hertz. Sin embargo, en la óptica, la frecuencia también puede hacer referencia a una magnitud espacial, medida en líneas por milímetro y expresada en la unidad milímetro a la menos uno. Multiplicar las respuestas de frecuencia como recién observamos, es un proceso considerablemente más sencillo que la convolución.

Ahora bien, una forma de onda en un gráfico de amplitud contra tiempo, es una expresión, precisamente, en función del tiempo. Para poder multiplicar gráficos de respuestas de frecuencias, es necesario pasar de la forma de onda de amplitud en función del tiempo, a una expresión de amplitud en función de la frecuencia.

Para este fin, es necesario aplicar la Transformada de Fourier; específicamente, la Transformada de Fourier Discreta o DFT, por sus siglas en inglés. Se trata de un sistema digital con señales discretas. La premisa del análisis de Fourier es que toda forma de onda periódica puede ser reproducida al combinar una cantidad específica de ondas sinusoidales con relación armónica entre sí, cada una con amplitud, frecuencia y fase diferentes.

En la figura, se muestra un análisis de Fourier sencillo a modo de ejemplo. Una onda cuadrada ha sido descompuesta en múltiples parciales. El eje Y indica la amplitud relativa, de 0 a 1, mientras que el eje X expresa la rotación de fase en grados. La fundamental es señalada por el número uno. El número dos señala los armónicos impares desde el tercero, hasta el decimoquinto. El número tres, señala la suma de todos los armónicos desde la fundamental hasta el decimoquinto. El número cuatro, que coincide con la línea punteada, señala la onda cuadrada ideal. Cuantos más armónicos se incluyan en la suma, más se acercará el resultado a la onda cuadrada ideal.

Figura 5.11. Análisis de Fourier de una onda cuadrada

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