Filtros en sistemas digitales: convolución en filtro RC

Published On Sep-22-2017

Transcripción

Debido a la naturaleza discreta de las señales digitales, es decir, a su cantidad finita de muestras en una cantidad de tiempo, todas las señales tienen un filtro low-pass inherente, cuya frecuencia cutoff es la mitad de la frecuencia de muestreo. Estudiaremos este concepto más a fondo cuando discutamos el teorema de Nyquist-Shannon.

Observemos un circuito RC sencillo y su respuesta a impulso. La señal de entrada que alimenta el circuito es un impulso, un pico de amplitud inmediato. Sin embargo, la señal de salida del filtro es una curva con decaimiento exponencial causada por la descarga progresiva del capacitor a través del resistor.

Veamos ahora cómo responde el circuito cuando se alimenta con una onda cuadrada. La señal de salida demuestra que el circuito no responde inmediatamente a los cambios abruptos de amplitud de la señal de entrada, sino que los cambios de amplitud se vuelven progresivos. La respuesta de transientes del circuito es lenta.

Figura 5.7. Comportamiento de un circuito RC.

Los gráficos de amplitud en función del tiempo permiten mostrar la señal de salida de cualquier filtro. Estas formas de onda corresponden al resultado de la convolución de la respuesta a impulso del filtro con la señal de entrada. Por ejemplo, al aplicar la operación matemática de convolución de la respuesta a impulso del filtro RC recién observado, con cualquier señal de entrada, podremos predecir la forma de onda de la señal de salida que produciría el filtro real al responder a esa señal de entrada.

Veamos un ejemplo. El filtro RC visto tiene una respuesta a impulso asimétrica. El decaimiento exponencial sucede después del impulso de entrada. En estos casos, el primer paso para aplicar la convolución consiste en invertir la respuesta a impulso en el tiempo. Luego, se desliza a través de la forma de onda de la señal de entrada, la cual permanece fija. La amplitud de la señal de salida en cada momento en el tiempo es proporcional al área sombreada en ese mismo momento, es decir, la magnitud del área en la que se traslapan la respuesta a impulso invertida y la señal de entrada en un momento dado.

Figura 5.8. Convolución de señales continuas

También es posible aplicar el proceso de convolución a señales discretas. Tanto la señal de entrada como la respuesta a impulso son cadenas discretas de muestras, con la misma separación entre cada muestra. El proceso es el mismo que la convolución de señales continuas, con una leve variación. La amplitud de la señal de salida es determinada por la suma de la altura de las barras, es decir, la magnitud de las muestras, y no el área de traslape.

Figura 5.9. Convolución de señales discretas

Esta es la manera en la que operan los filtros digitales. Podríamos argumentar que, de hecho, los filtros digitales no son realmente filtros, sino únicamente una simulación matemática de lo que haría un filtro analógico ideal.

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