Nociones básicas de cálculo

Published On Jan-18-2018

Transcripción

¿Cuál es la utilidad del cálculo diferencial? Imaginemos una función sencilla, tal como una función cuadrática o exponencial. Ahora imaginemos que elegimos un punto y lo movemos a lo largo de la curva. Al dibujar la tangente de cada punto, veremos que la pendiente de la línea resultante varía.

Figura 4.5. Tangentes en una función cuadrática

La pendiente de la tangente de cada punto en una función puede darnos información muy importante. Por ejemplo, en un gráfico de posición contra tiempo, la pendiente de la tangente de cada punto corresponde a la velocidad instantánea del objeto en movimiento. En un gráfico de carga eléctrica contra tiempo, la pendiente de la tangente de cada punto, corresponde a la corriente instantánea.

El cálculo diferencial nos permite obtener una función lineal a partir de una función cuadrática. Por ejemplo, en este caso, la función lineal corresponderá a la tangente de cada punto. Así, podemos determinar la pendiente de la tangente. Esta segunda función toma el nombre de “derivada de y”. Por ejemplo, la derivada de equis al cuadrado, es dos equis y suele representarse de dos maneras: con un apóstrofe después de la y, o con una fracción.

Figura 4.6. Ejemplo de una derivada

Ahora, discutamos cómo encontrar la derivada de una función específica. Consideremos la siguiente función cuadrática. En primer lugar, debemos elegir dos puntos de la curva, a los cuales llamaremos P y Q. Observamos las coordenadas de cada punto, señaladas en el gráfico por medio de líneas.

Tracemos ahora una línea recta que atraviesa ambos puntos P y Q. Para encontrar la pendiente “m” de esta línea, debemos restar las coordenadas “y” de ambos puntos y dividir el resultado entre la diferencia de las coordenadas “x”.

Figura 4.7. Determinación de la pendiente

Ahora, podemos sustituir la función en la ecuación que acabos de obtener. En este caso, la función es cuadrática, por lo que la ecuación cambiará de la manera que se indica. Si bien la función del gráfico no es exactamente equis al cuadrado, debido a que su punto más bajo no atraviesa el origen, asumiremos que sí lo es, por motivos de simplicidad. Los tres puntos utilizados en los cálculos significan “por lo tanto”.

Figura 4.8. Determinación de la derivada (Parte I)

Ahora, imaginemos que el punto Q se acerca cada vez más al punto P. Así, delta equis se acerca cada vez más a ser igual a cero. Cuanto más se acerca a cero, la fórmula de la pendiente se acerca cada vez más a depender únicamente de equis. Así, podríamos llamarle la pendiente de la curva en el punto P, es decir, la derivada de efe de equis, y se puede representar de distintas maneras.

Figura 4.9. Determinación de la derivada (Parte II)

Al aplicar el límite, obtenemos que la derivada de equis al cuadrado es dos equis.

Figura 4.10. Determinación de la derivada (Parte III)

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