Oscilador armónico amortiguado

Published On May-17-2017

Transcripción

Al estudiar los fenómenos de la naturaleza, la Física ha desarrollado un método permitiendo abordar los problemas de manera más simple. Dicho método consiste en diseñar modelos ideales sencillos con pocas variables que simulen la realidad, y luego, ir incorporando otras variables que intervienen en el proceso, afectándolo o modulándolo de manera tal que se acerque más a la realidad.

Tal es el caso del oscilador armónico simple, el cual es realmente un caso ideal. En la realidad, existe intervención de la fricción o roce con el medio que rodea al objeto, amortiguándose las oscilaciones por motivo de esta interacción. Para acercar nuestro estudio a una situación realista hay que agregar el efecto de la fricción a las ecuaciones de movimiento de un objeto sometido a un proceso de oscilación.

Amortiguamiento

Vamos a considerar de nuevo un cuerpo sometido a la fuerza de un resorte, pero sometido a una fuerza de roce de tipo viscoso. ¿Qué ocurre si en la ecuación de movimiento descrita por la segunda ley de Newton introducimos una fuerza que se opone al movimiento y que además es proporcional a la velocidad como se muestra en la siguiente ecuación? Veamos:

Figura 1.34. Introducción de fuerza opuesta al movimiento

En esta ecuación, R_m se conoce como “resistencia mecánica”.

Movimiento amortiguado

La segunda ley de Newton se transforma en la ecuación que ya conocíamos para el oscilador armónico simple, más el nuevo término:

Figura 1.35. Nuevo término

Entonces, esta ecuación se transforma en una ecuación diferencial de segundo orden. Veamos:

Figura 1.36. Ecuación diferencial de segundo orden

Resolver esta ecuación implica encontrar una dependencia de la posición del oscilador dependiente del tiempo x(t), que se ajuste a lo que se prevé que ocurrirá físicamente. Recurrimos de nuevo a la intuición física, así que en este caso podemos pensar que la masa atada al resorte va a oscilar, pero que sus oscilaciones se van a amortiguar, es decir, su amplitud va a decrecer hasta que el oscilador llegue al reposo. Veamos una posible forma:

Figura 1.37. Forma

Veamos la siguiente expresión:

Figura 1.38. Expresión

Si la sustituimos con sus respectivas derivadas, veremos la siguiente solución:

Figura 1.39. Solución mediante sustitución con derivadas

Dicha solución se da si los parámetros satisfacen las siguientes expresiones:

Figura 1.40. Expresiones

De la solución se puede ver que para un tiempo, la amplitud de la oscilación decrece a 1/e de su valor inicial. Este intervalo de tiempo se denomina “tiempo de relajación”.

La frecuencia del oscilador amortiguado es diferente de la frecuencia del oscilador armónico simple y es menor que ella, y está dada por la siguiente expresión:

Figura 1.41. Expresión II

En consecuencia, la presencia de una fuerza viscosa en un oscilador armónico simple tiene por efecto producir un oscilador de frecuencia menor a la del oscilador armónico sin amortiguamiento dada por la ecuación mostrada y con una amplitud de movimiento que decrece con el tiempo

Es decir, un cuerpo que se someta a un movimiento oscilatorio en un ambiente donde haya fricción, oscilará con una frecuencia fija pero sus oscilaciones se irán haciendo más pequeñas cada vez debido al amortiguamiento.

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