Fuentes periódicas no sinusoidales

Published On Jan-18-2018

Transcripción

¿Qué sucede cuando la corriente que fluye a través de un circuito es periódica, pero no sinusoidal? Pues bien, aquí hablamos de ondas cuadradas, triangulares, sawtooth y, en realidad, todos los sonidos del mundo real. Debido a que la corriente es AC, no podremos aplicar los teoremas de corriente directa. Además, debido a que la corriente no es sinusoidal, no podemos aplicar el método de impedancias complejas.

Figura 6.22. Formas de onda

Audio 6.1. Onda sinusoidal

Audio 6.2. Onda cuadrada

Audio 6.3. Onda triangular

Audio 6.4. Onda sawtooth

Queda únicamente un método disponible: aplicar las leyes de Kirchhoff. Ahora bien, para aplicarlas, debemos encontrar una función que pueda representar la forma de onda de la corriente no sinusoidal. ¿Cuál es la función matemática que puede representar una onda cuadrada?, ¿O una onda triangular?

Incluso, si encontráramos una función que pudiera describir la forma de onda no sinusoidal, tendríamos que despejar ecuaciones diferenciales, al aplicar las leyes de Kirchhoff. Para evitar esto, por medio de las impedancias complejas, debemos considerar las ondas no sinusoidales como una superposición de ondas sinusoidales.

El matemático francés Joseph Fourier descubrió precisamente esto, o sea, que cualquier forma de onda periódica puede ser obtenida por medio de la suma de un conjunto de ondas sinusoidales de distinta frecuencia y amplitud. Dichas ondas sinusoidales constituyen funciones de seno o coseno, con una relación armónica entre sí, es decir, siendo armónicos de una misma fundamental. Este conjunto de funciones de seno y coseno recibe el nombre de serie de Fourier.

Por ejemplo, una onda cuadrada puede obtenerse por medio de la siguiente expresión:

Figura 6.23. Serie de Fourier para una onda cuadrada

Si tomamos las primeras tres funciones de la expresión anterior, es decir, n=1, n=3 y n=5 veremos que la forma de onda resultante no es exactamente sinusoidal. Conforme sigamos sumando más funciones, la onda se acercará más a una forma de onda cuadrada.

Figura 6.24. Suma de las primeras tres ondas para una onda cuadrada

A continuación, observamos las series de Fourier con las que se puede representar ondas triangulares y sawtooth.

Figura 6.25. Serie de Fourier para una onda triangular

Figura 6.26. Serie de Fourier para una onda sawtooth

Nótese que la sumatoria en cada serie de Fourier va desde n=1, hasta infinito. Por lo tanto, cada serie de Fourier está compuesta por una cantidad infinita de funciones. Cada función puede ser tomada como el voltaje AC, en un circuito RLC, donde deseamos encontrar los voltajes, corrientes, desfases, entre otros. No obstante, ¿cómo manejamos una cantidad infinita de funciones?

Un primer método es la aproximación. Podríamos, por ejemplo, tomar únicamente los primeros cinco valores de n, y así, calcular con cinco funciones. No obstante, los cálculos matemáticos necesarios para crear series de Fourier y solucionar las ecuaciones resultantes van más allá de los fines prácticos del curso. Se recomienda referirse a bibliografía especializada en matemática, si se desea obtener más detalles al respecto.

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