Números complejos (Parte II)

Published On Jan-18-2018

Transcripción

Ahora que hemos mencionado los conceptos básicos de los números complejos, podemos llevar a cabo unas leves variaciones, de manera que nos permitan analizar los circuitos electrónicos.

Al sustituir la variable a por r coseno de theta, y la variable b por r seno de theta, el número complejo tomará la forma llamada trigonométrica o polar.

Figura 4.16. Forma trigonométrica del número complejo

El matemático suizo del siglo XVIII, Leonhard Euler, descubrió que al sumar el coseno de theta y el producto del número imaginario j por el seno de theta, el resultado era igual a elevar la constante e al producto del número imaginario j por el ángulo theta.

Figura 4.17. Equivalencia descubierta por Leonhard Euler

Por lo tanto, podemos simplificar la manera en la que se expresa el número complejo de la siguiente manera. Primero, reescribimos la expresión, utilizando r como factor común. Luego, podemos sustituir la suma entre paréntesis.

Figura 4.18. Simplificación de la expresión del número complejo

Aquí, observamos las tres maneras diferentes de expresar un número complejo: la forma cartesiana, la forma trigonométrica y la forma exponencial. Cabe mencionar que cada forma de expresar el número complejo es útil en diferentes situaciones.

Para llevar a cabo cálculos aritméticos con números complejos, podemos emplear las fórmulas especificadas a continuación.

Figura 4.19. Suma y resta de números complejos en forma cartesiana

Figura 4.20. Multiplicación de números complejos en forma cartesiana

Figura 4.21. División de números complejos en forma cartesiana

Figura 4.22. Multiplicación de números complejos en forma exponencial

Figura 4.23. División de números complejos en forma exponencial

Se recomienda convertir los números complejos en forma trigonométrica a cualquiera de las otras formas antes de realizar cálculos con ellos. Asimismo, cuando nos encontremos con operaciones con formas que no se han especificado anteriormente, se recomienda convertir los números complejos a las formas necesarias para poder emplear las fórmulas mencionadas.

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