Vibraciones libres de una membrana circular con borde fijo

Published On Jun-13-2017

Transcripción

Las ondas estacionarias son resultado de las reflexiones de las ondas viajeras en los bordes del objeto sometido a vibración; en el caso de una placa rectangular pudimos conocer la presencia de patrones sencillos de oscilación. Una membrana o placa circular presenta una situación ligeramente diferente pues las ondas se propagan en cualquier dirección.

A partir de la ecuación de onda aplicada a una membrana circular con su borde fijo, como ocurre en el caso de un timbal, se obtienen modos de vibración dados por la siguiente expresión:

Figura 5.8. Frecuencias de los modos de vibración

Vemos que “m” determina el numero el número de líneas nodales radiales y “n” determina el número de círculos nodales, “c” es la velocidad de las ondas en la placa y “a” representa el radio de la placa o membrana circular; “j sub m n” son coeficientes asociados a la solución dados en la siguiente tabla:

Figura 5.9. Coeficientes j_mn de los modos de vibración

Una representación gráfica da una mejor comprensión de esta expresión. Mostraremos a continuación los modos de vibración más simples:

Figura 5.10. Líneas nodales de una membrana circular

En estas figuras, la parte sombreada y la parte blanca tienen una vibración completamente opuesta.

Para tener una idea más clara del significado de las figuras, explicaremos tres de los modos. Cada modo tiene asociado un par ordenado “m, n”. En el primer caso tenemos el modo “0, 1”

Figura 5.11. Modo (0,1) para una membrana circular

Vemos que “m = 0” significa que no tiene líneas nodales radiales, por ello no observamos ninguna línea recta en la figura “y”. Por otro lado, “n = 1” corresponde a un solo circulo nodal, el cual ocurre sólo en la frontera donde la placa está fija.

Figura 5.12. Modo (0,2) para una membrana circular

Ahora, vemos que “m = 0” significa nuevamente una ausencia de rectas radiales, lo cual quiere decir que no hay líneas nodales radiales, y “n = 2” significa que hay 2 líneas nodales circulares, una en el medio de la placa y otra en el borde.

Figura 5.13. Modo (1,1) para una membrana circular

En este caso, “m = 1”, significa una línea nodal radial en el centro y “n = 1” significa que hay solo un nodo circular en el borde.

Con esta explicación, podemos comprender el significado del par ordenado “m, n” y viceversa, dado un modo de oscilación en forma gráfica se pueden deducir cuales son los valores del par ordenado “m, n”.

En conclusión, ahora tenemos una forma de calcular las frecuencias de los diferentes modos de vibración de una membrana circular con borde fijo y adquirir mayor conocimiento del comportamiento de instrumentos musicales como el timbal, el tambor y otros instrumentos que requieren para su funcionamiento una membrana.

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