Vibraciones libres de una membrana rectangular con borde fijo

Published On Jun-13-2017

Transcripción

Del análisis de una cuerda vibrando con sus extremos fijos, es conocida la generación de ondas estacionarias con diferentes modos de vibración correspondientes a diferentes frecuencias a las que puede vibrar la cuerda. ¿Si una membrana se somete a oscilación con sus extremos fijos, será una analogía a lo que ocurre en la cuerda?

Para responder a esta pregunta es necesario encontrar una solución de la ecuación de onda, e imponer sobre ella las condiciones de contorno correspondientes a un borde fijo. Supondremos una placa rectangular de lados “a” y “b”, como se muestra a continuación:

Figura 5.5. Membrana rectangular

Obviaremos aquí los procedimientos matemáticos y atenderemos solamente a los resultados que se desprenden de imponer las condiciones en el borde de la solución de la ecuación de onda.

La solución es un producto de funciones trigonométricas del tipo seno, que da lugar a ondas estacionarias con regiones donde la amplitud de la onda se anula y otras, donde la amplitud se hace máxima.

En este caso, las frecuencias posibles que cumplen con las condiciones de contorno tienen la siguiente forma:

Figura 5.6. Frecuencias de los modos de vibración de una membrana rectangular

Donde “n” y “m” son números naturales que pueden adquirir cualquier valor: 1, 2, 3, 4 y así sucesivamente.

La frecuencia fundamental se obtiene para los valores de n = 1 y m = 1, cuyo valor dependerá de las dimensiones de la membrana y de la velocidad de la onda. Los sobre-tonos con “n” y “m” iguales serán armónicos de la fundamental, los cuales serán múltiplos enteros de ella, mientras que aquellos para los que “n” y “m” son diferentes, puede que no lo sean.

A manera de ejemplo, mostramos 4 modos de vibración de una placa rectangular:

Figura 5.7. Cuatro modos de vibración de una membrana rectangular

Las partes blancas tienen una vibración totalmente opuesta a la parte sombreada y la línea de separación entre ambas regiones, llamadas “líneas nodales”, no tiene vibración.

Hemos aprendido que, a partir de la ecuación de onda, se pueden deducir los modos de vibración de una onda estacionaria en una placa rectangular, permitiendo explicar los fenómenos observados experimentalmente.

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