Transcripción
Discutamos el diseño de un filtro low-pass pasivo con una pendiente distinta a 6dB por octava. Supongamos que deseamos obtener un filtro con una frecuencia cutoff de 4kHz, el cual atenúa -25dB en los 12kHz. Llamaremos a esta última frecuencia la frecuencia stop-band. Supongamos también que la impedancia del emisor de la señal, source impedance o Rs, así como la impedancia de la carga conectada a la salida del filtro, load impedance o RL, equivalen a 50 ohms.
En primer lugar, debemos normalizar el grafico de atenuación contra frecuencia en Hertz de tal manera, que el eje X esté en función de la velocidad angular. La velocidad angular de la frecuencia stop-band, será tres veces mayor a la de la frecuencia cutoff, pues la freuencia stop-band también es tres veces mayor a la frecuencia cutoff.
Figura 7.5. Diagrama de la atenuación del LPF
Esta última cifra se denomina factor de inclinación o steepness factor, y puede determinarse por medio de la fórmula que se indica a continuación.
Figura 7.6. Factor de inclinación
Nótese que los valores que indicamos en el eje X no son los valores directos en radianes por segundo, sino únicamente el factor por el que hay que multiplicar el valor, en radianes por segundo, al que equivale cada frecuencia específica.
El segundo paso consiste en elegir el tipo de respuesta que deseamos para nuestro filtro. Entre estos tipos de respuesta, se destacan la respuesta convencional de un filtro RC y las respuestas de Butterworth, Chebyshev y Bessel. Cada curva recibe el nombre del científico, quien logró crear una red de filtros LC, con las distintas respuestas de frecuencias. Para lograr esto, se basaron en una función matemática denominada “función de transferencia”. Esta última describe las entradas y salidas de un black box, el cual es, en este caso, la red de filtros LC.
Como podemos observar, Stephen Butterworth logró obtener una función de transferencia con una respuesta plana, en la región pass-band, a expensas de una pendiente menos inclinada. Pafnuty Chebyshev obtuvo una función de transferencia más inclinada, a expensas de una respuesta menos plana, en la región pass-band, la cual presenta ondulaciones de 0.5dB. Finalmente, Friedrich Wilhelm Bessel logró reducir considerablemente los desfases causados por el filtro, a expensas de una respuesta menos plana y una pendiente menos inclinada. Notamos que, en la curva Bessel, las frecuencias muy por debajo de la frecuencia cutoff son atenuadas.
Figura 7.7. Curvas RC, Butterworth, Chebyshev y Bessel
Observemos la función de transferencia T de S en la que se basaron los tres científicos, así como el diagrama general de los circuitos que se emplean. Los valores de N son los coeficientes del numerador, mientras que los de D son los coeficientes del denominador. Todos estos coeficientes se relacionan con los valores específicos de cada capacitor e inductor, en el circuito del filtro.
La letra “m” minúscula se refiere al número de ceros. Por su parte, la letra “n” minúscula se refiere al número de polos. Definiremos este concepto en breve; Por su parte, S equivale a la velocidad angular multiplicada por el número j.
Figura 7.8. Circuitos LC para filtros LPF
Nótese que es posible utilizar una configuración pi o una configuración T. En la primera, se “rodea” cada inductor con dos capacitores, mientras que, en la segunda, cada capacitor es “rodeado” por dos inductores. Discutiremos más a fondo cada configuración, en breve.
Figura 7.9. Función de transferencia
Es importante tener en mente que el número de polos tiene una relación directa con la pendiente del filtro. Cuantos más polos haya, más inclinada será la pendiente.
Figura 7.10. Relación entre la cantidad de polos y la pendiente del filtro
Más adelante, discutiremos las ventajas de cada tipo de filtro. Por ahora, continuaremos el ejemplo, utilizando un filtro Butterworth, esto, debido a su gran popularidad.
